Математики заново изобрели колесо: оно работает во всех возможных измерениях

Фото: Andriy Prymak et al

Математики открыли формы, которые могут плавно катиться даже в четырех, пяти или большем количестве пространственных измерений. Исследователи потратили десятилетия, чтобы разгадать эту загадку, пишет New Scientist.

Ученые называют такие объекты фигурами постоянной ширины, наиболее распространенным примером в 2-х и 3-х измерениях является круг и сфера. Но это не единственным такие формы.

Одним из примеров является многоугольник Рело, которые составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми.

Важная особенность всех этих форм заключается в том, что они имеют меньшую площадь или объем, чем круг или сфера эквивалентной ширины. До сих пор ученые не знали, может ли это быть применимо в большем количестве пространственных измерений.

Впервые этот вопрос был озвучен в 1988 году математиком Одедом Шраммом, который пытался выяснить, могут ли существовать фигуры постоянной ширины меньше сферы в четырех, пяти и большем количестве измерений.

Несмотря на то, что формы, которые имеют более трех измерений, невозможно визуализировать, математики могут их вывести, логически расширяя 2D и 3D формы. Например, точно так же, как круг или сфера — это набор точек, находящихся на постоянном расстоянии от центральной точки, то же самое справедливо и для больших измерений.

"Иногда самые захватывающие явления обнаруживаются, когда вы смотрите на все больше и больше измерений", — говорит Гил Калаи из Еврейского университета в Иерусалиме в Израиле.

Теперь Андрей Арман из Университета Манитобы в Канаде и его коллеги ответили на вопрос Шрамма и обнаружили набор фигур постоянной ширины, которые меньше сферы, и это применимо к любому измерению.

Визуализировать это сложно, но есть одна хитрость — представить силуэт объекта более высокого измерения в более низком измерении. При просмотре под определенными углами трехмерная форма выглядит как двумерный треугольник Рело. Точно так же трехмерную форму можно рассматривать как "тень" четырехмерной и так далее.

"Формы в более высоких измерениях будут в определенном смысле похожими, но их сложность будет возрастать по мере роста измерения", — говорит Арман.

Ирина Скиба / Skibair
Журналист ATinform